Como Se Completa Un Trinomio Cuadrado Perfecto

Completar un trinomio cuadrado perfecto significa transformar una expresión cuadrática en una que pueda factorizarse como el cuadrado de un binomio. En esencia, buscamos agregar un término constante para que la expresión tenga la forma (ax + b)² o (ax - b)².

Aquí te mostramos el proceso paso a paso:

Paso 1: Asegúrate de que el coeficiente del término x² sea 1. Si no lo es, factoriza ese coeficiente de toda la expresión. Por ejemplo, si tienes 2x² + 8x + 5, primero factoriza el 2: 2(x² + 4x + 5/2).

Paso 2: Identifica el coeficiente del término x (el término con la x a la primera potencia). Llamémoslo 'b'. En el ejemplo x² + 4x + 5/2, b = 4.

Paso 3: Divide el coeficiente 'b' por 2 y luego eleva el resultado al cuadrado. Esto es, calcula (b/2)². En nuestro ejemplo, (4/2)² = 2² = 4.

Paso 4: Suma y resta el valor calculado en el paso 3 dentro del paréntesis (o a la expresión, si no factorizaste nada en el paso 1). En nuestro ejemplo: x² + 4x + 4 + 5/2 - 4. Fíjate que sumamos y restamos el mismo valor para no alterar la ecuación original.

Paso 5: Los primeros tres términos (en este caso, x² + 4x + 4) ahora forman un trinomio cuadrado perfecto. Factorízalos como (x + b/2)². En nuestro ejemplo: (x + 2)² + 5/2 - 4.

Paso 6: Simplifica los términos constantes restantes. En nuestro ejemplo: (x + 2)² - 3/2. Finalmente, recuerda multiplicar por el factor que sacaste inicialmente (si lo hubo). En nuestro ejemplo, el resultado completo sería 2[(x + 2)² - 3/2] = 2(x + 2)² - 3.

Un uso práctico de completar el trinomio cuadrado perfecto es encontrar el vértice de una parábola dada en forma general (ax² + bx + c). La forma vértice (a(x - h)² + k) nos da directamente las coordenadas del vértice (h, k). Otro uso es en la integración, donde facilita la solución de ciertas integrales.