Derivada De Una Función Dada Paramétricamente

A veces, una curva no se describe directamente como y = f(x). En cambio, se define usando un tercer parámetro, generalmente llamado t. Esto se conoce como una función dada paramétricamente. Entendamos qué es y cómo encontrar su derivada.

¿Qué es una función paramétrica?

Imagina que quieres dibujar la trayectoria de un objeto que se mueve en el plano. En lugar de decir directamente dónde está el objeto en función de un valor x, podrías decir dónde está en función del tiempo t. Así, tienes dos ecuaciones:

• x = f(t): La posición horizontal del objeto en el tiempo t.
• y = g(t): La posición vertical del objeto en el tiempo t.

Estas dos ecuaciones, x = f(t) e y = g(t), juntas definen la curva paramétricamente. t es el parámetro.

Por ejemplo, considera x = t² e y = 2t. A medida que t cambia, obtienes diferentes puntos (x, y) que forman una curva en el plano. Si graficas estos puntos, verás que forman una parábola.

Derivada de una función paramétrica: dy/dx

La derivada, dy/dx, nos da la pendiente de la recta tangente a la curva en un punto dado. Para encontrar dy/dx en una función paramétrica, usamos la siguiente fórmula:

dy/dx = (dy/dt) / (dx/dt)

Es decir, la derivada de y con respecto a x es igual a la derivada de y con respecto a t dividida por la derivada de x con respecto a t.

Pasos para calcular dy/dx

1. Encuentra dy/dt: Deriva la ecuación y = g(t) con respecto a t.
2. Encuentra dx/dt: Deriva la ecuación x = f(t) con respecto a t.
3. Divide: Divide dy/dt por dx/dt. ¡Eso es dy/dx!

Ejemplo sencillo

Usemos el ejemplo anterior: x = t² e y = 2t.

1. dy/dt = 2 (La derivada de 2t con respecto a t es 2).
2. dx/dt = 2t (La derivada de t² con respecto a t es 2t).
3. dy/dx = (dy/dt) / (dx/dt) = 2 / (2t) = 1/t

Por lo tanto, la derivada dy/dx para esta función paramétrica es 1/t. Esto significa que la pendiente de la tangente en cualquier punto de la parábola (definida paramétricamente por x = t² e y = 2t) es 1/t.

Importante: Cuidado con dx/dt = 0

Si dx/dt = 0, la fórmula dy/dx = (dy/dt) / (dx/dt) no está definida. Esto ocurre en puntos donde la tangente a la curva es vertical.

Conclusión

Las funciones paramétricas ofrecen una forma flexible de describir curvas. La fórmula dy/dx = (dy/dt) / (dx/dt) nos permite encontrar la pendiente de la tangente a estas curvas, dándonos información valiosa sobre su comportamiento.