Derivada Del Producto De Dos Funciones Ejemplos Resueltos

¡Hola a todos! Prepárense para dominar la derivada del producto. Vamos a repasar la regla con ejemplos claros. ¡No se preocupen, lo lograrán!

¿Qué es la Derivada del Producto?

La derivada del producto es una regla que nos ayuda a encontrar la derivada de una función que es el producto de dos funciones. Imaginen que tienen f(x) = u(x) * v(x). Queremos encontrar f'(x).

La fórmula es: f'(x) = u'(x) * v(x) + u(x) * v'(x). En palabras, la derivada del producto es la derivada de la primera función por la segunda función sin derivar, más la primera función sin derivar por la derivada de la segunda función. Parece complicado, pero con práctica, se vuelve fácil.

Ejemplo Resuelto #1

Vamos con un ejemplo sencillo. Supongamos que f(x) = (x² + 1) * (3x - 2). Identificamos: u(x) = x² + 1 y v(x) = 3x - 2.

Ahora, encontramos las derivadas: u'(x) = 2x y v'(x) = 3. Aplicamos la fórmula: f'(x) = (2x) * (3x - 2) + (x² + 1) * (3).

Simplificamos: f'(x) = 6x² - 4x + 3x² + 3. Finalmente, f'(x) = 9x² - 4x + 3. ¡Listo! Ya derivamos el producto.

Ejemplo Resuelto #2

Otro ejemplo para consolidar. Sea g(x) = (sin(x)) * (x³). Aquí, u(x) = sin(x) y v(x) = x³.

Calculamos las derivadas: u'(x) = cos(x) y v'(x) = 3x². Aplicamos la regla del producto: g'(x) = (cos(x)) * (x³) + (sin(x)) * (3x²).

Podemos reescribir esto como: g'(x) = x³cos(x) + 3x²sin(x). Este resultado ya está simplificado.

Ejemplo Resuelto #3: Algo un Poco Más Desafiante

Vamos a elevar un poco el nivel. Consideremos h(x) = (e^x) * (ln(x)). Entonces, u(x) = e^x y v(x) = ln(x).

Las derivadas son: u'(x) = e^x y v'(x) = 1/x. Aplicamos la fórmula: h'(x) = (e^x) * (ln(x)) + (e^x) * (1/x).

Lo podemos escribir como: h'(x) = e^xln(x) + e^x/x. También podemos factorizar e^x: h'(x) = e^x(ln(x) + 1/x). ¡Muy bien!

Consejos y Trucos

Identificar claramente u(x) y v(x) es crucial. Asegúrense de derivar correctamente cada función individualmente. Practiquen con muchos ejemplos diferentes. ¡La práctica hace al maestro!

No se apresuren. Escriban cada paso claramente. Revisen su trabajo para evitar errores de cálculo. ¡Confíen en ustedes mismos!

Resumen

Recuerden: La derivada del producto es una herramienta poderosa. La fórmula es f'(x) = u'(x) * v(x) + u(x) * v'(x). Identifiquen u(x) y v(x). Deriven correctamente cada función. ¡Practiquen, practiquen, practiquen! ¡Están listos para el examen!