Derivadas Parciales De 3 Variables Ejercicios Resueltos

Las derivadas parciales son una herramienta para entender cómo cambia una función cuando modificamos solo una de sus variables. Piénsalo como ajustar un solo botón en un panel de control complicado.

Definición de Derivada Parcial

Imagina una función f(x, y, z). Esta función depende de tres variables: x, y, y z. Una derivada parcial te dice cuánto cambia f cuando solo cambias, digamos, x, y dejas y y z completamente quietas. Matemáticamente, la derivada parcial de f con respecto a x se escribe como ∂f/∂x.

Similarmente, ∂f/∂y indica cómo cambia f cuando solo modificamos y (y mantenemos x y z constantes), y ∂f/∂z hace lo mismo, pero ajustando solo z.

Cómo Calcular Derivadas Parciales

La clave está en recordar: Cuando derivas parcialmente con respecto a una variable, trata a las otras variables como si fueran simples números (constantes). Aplicas las reglas de derivación que ya conoces.

Ejemplo 1: Sea f(x, y, z) = x² + 3xy + z³. Vamos a encontrar ∂f/∂x.

1. Considera y y z como constantes.
2. Deriva x² con respecto a x: obtenemos 2x.
3. Deriva 3xy con respecto a x: obtenemos 3y (porque y es constante).
4. Deriva z³ con respecto a x: obtenemos 0 (porque z³ es constante y no depende de x).
5. Por lo tanto, ∂f/∂x = 2x + 3y + 0 = 2x + 3y.

Ejemplo 2: Volvamos a f(x, y, z) = x² + 3xy + z³, pero ahora calculemos ∂f/∂y.

1. Considera x y z como constantes.
2. Deriva x² con respecto a y: obtenemos 0.
3. Deriva 3xy con respecto a y: obtenemos 3x.
4. Deriva z³ con respecto a y: obtenemos 0.
5. Entonces, ∂f/∂y = 0 + 3x + 0 = 3x.

Ejemplo 3: Calculemos ∂f/∂z para f(x, y, z) = x² + 3xy + z³.

1. Considera x e y como constantes.
2. Deriva x² con respecto a z: obtenemos 0.
3. Deriva 3xy con respecto a z: obtenemos 0.
4. Deriva z³ con respecto a z: obtenemos 3z².
5. Así, ∂f/∂z = 0 + 0 + 3z² = 3z².

Aplicaciones

Las derivadas parciales son fundamentales en campos como la física (termodinámica), la economía (optimización de funciones de utilidad) y la ingeniería (análisis de superficies y volúmenes). Nos permiten analizar cómo la variación de un factor afecta un sistema complejo manteniendo los demás factores bajo control.

Practicar con diferentes funciones es crucial para dominar las derivadas parciales. Intenta con polinomios, funciones trigonométricas y exponenciales para familiarizarte con la técnica.