Distancia De Punto A Recta Formula

La distancia de un punto a una recta es la longitud del segmento perpendicular trazado desde el punto a la recta. En otras palabras, es la distancia más corta posible entre el punto y cualquier punto de la recta.

Para calcular esta distancia, utilizamos una fórmula específica. Si tenemos un punto P(x₀, y₀) y una recta dada por la ecuación general Ax + By + C = 0, la fórmula es:

d = |Ax₀ + By₀ + C| / √(A² + B²)

Aquí hay un desglose paso a paso:

1. Identificar los valores: Determina los valores de A, B, y C de la ecuación de la recta, y las coordenadas x₀ e y₀ del punto.
2. Sustituir en la fórmula: Reemplaza estos valores en la fórmula de la distancia.
3. Calcular el numerador: Realiza las operaciones dentro del valor absoluto |Ax₀ + By₀ + C|. El valor absoluto asegura que la distancia sea siempre positiva.
4. Calcular el denominador: Calcula √(A² + B²), que representa la magnitud del vector normal a la recta.
5. Dividir: Divide el valor absoluto del numerador por el valor del denominador. El resultado es la distancia del punto a la recta.

Ejemplo: Calcula la distancia del punto P(2, 3) a la recta 3x + 4y - 5 = 0.

A = 3, B = 4, C = -5, x₀ = 2, y₀ = 3

d = |(3 * 2) + (4 * 3) - 5| / √(3² + 4²) = |6 + 12 - 5| / √(9 + 16) = |13| / √25 = 13 / 5 = 2.6

Por lo tanto, la distancia del punto P(2, 3) a la recta 3x + 4y - 5 = 0 es 2.6 unidades.

Aplicaciones prácticas: La distancia de un punto a una recta tiene aplicaciones en diversos campos. Por ejemplo, en navegación, se usa para determinar la distancia de un barco a una ruta predefinida. En gráficos por computadora, se utiliza para detectar colisiones entre objetos.