Ejercicios De Desigualdades Con Valor Absoluto Resueltos

Las desigualdades con valor absoluto pueden parecer complicadas, pero con un poco de práctica, son fáciles de resolver. Primero, definamos qué es el valor absoluto. El valor absoluto de un número es su distancia desde cero en la recta numérica. Se representa con dos barras verticales: |x|.

Por ejemplo, |3| = 3 y |-3| = 3. El valor absoluto siempre es no negativo.

Ahora, veamos cómo resolver desigualdades que involucran valor absoluto. Hay dos casos principales a considerar:

Caso 1: |x| < a (o |x| ≤ a, donde a es un número positivo)

Si |x| < a, entonces significa que x está a una distancia menor que 'a' de cero. Esto se traduce en la siguiente desigualdad compuesta: -a < x < a.

Ejemplo: |x| < 5. Para resolver, aplicamos la regla: -5 < x < 5. Esto significa que x está entre -5 y 5 (sin incluir -5 y 5).

Caso 2: |x| > a (o |x| ≥ a, donde a es un número positivo)

Si |x| > a, entonces x está a una distancia mayor que 'a' de cero. Esto se traduce en dos desigualdades separadas: x < -a o x > a.

Ejemplo: |x| > 2. Para resolver, aplicamos la regla: x < -2 o x > 2. Esto significa que x es menor que -2 o mayor que 2.

Desigualdades con expresiones dentro del valor absoluto:

El mismo principio se aplica cuando hay una expresión dentro del valor absoluto. Por ejemplo, |x + 3| < 4. Aplicamos el Caso 1:

-4 < x + 3 < 4

Ahora, restamos 3 a todas las partes de la desigualdad:

-4 - 3 < x + 3 - 3 < 4 - 3

-7 < x < 1

Entonces, la solución es -7 < x < 1.

Otro ejemplo: |2x - 1| ≥ 5. Aplicamos el Caso 2:

2x - 1 ≤ -5 o 2x - 1 ≥ 5

Resolvemos cada desigualdad por separado:

Desigualdad 1: 2x - 1 ≤ -5 => 2x ≤ -4 => x ≤ -2

Desigualdad 2: 2x - 1 ≥ 5 => 2x ≥ 6 => x ≥ 3

Por lo tanto, la solución es x ≤ -2 o x ≥ 3.

Recuerda siempre considerar los dos casos (distancia menor que y distancia mayor que) y aplicar las reglas correspondientes para resolver las desigualdades con valor absoluto correctamente.