Ejercicios De Elipse Con Centro Hk
Una elipse es un lugar geométrico de todos los puntos cuya suma de distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante. Cuando la elipse no está centrada en el origen (0,0), su centro se ubica en un punto (h,k). Vamos a explorar los ejercicios de elipse con centro (h,k).
La ecuación canónica de una elipse con centro (h,k) es:
(x - h)² / a² + (y - k)² / b² = 1 (Elipse horizontal)
Must Read
(x - h)² / b² + (y - k)² / a² = 1 (Elipse vertical)
Donde:
- (h,k) son las coordenadas del centro de la elipse.
- a es la longitud del semi-eje mayor.
- b es la longitud del semi-eje menor.
Identificando los Elementos: El primer paso para resolver ejercicios es identificar los valores de h, k, a, y b a partir de la ecuación dada.
Ejemplo 1: Encuentra el centro, los vértices y los focos de la elipse cuya ecuación es (x - 2)² / 9 + (y + 1)² / 4 = 1.
Solución:
- Centro: (h,k) = (2, -1)
- a² = 9 => a = 3 (semi-eje mayor horizontal)
- b² = 4 => b = 2 (semi-eje menor vertical)
Como a está debajo de (x - h)², la elipse es horizontal. Para encontrar los vértices, sumamos y restamos a al valor de h, manteniendo k constante. Vértices: (2+3, -1) = (5, -1) y (2-3, -1) = (-1, -1).
Para encontrar los focos, necesitamos calcular c, donde c² = a² - b². En este caso, c² = 9 - 4 = 5, por lo que c = √5. Los focos se encuentran sumando y restando c a h, manteniendo k constante. Focos: (2 + √5, -1) y (2 - √5, -1).
Ejemplo 2: Dada la elipse (x + 3)² / 16 + (y - 4)² / 25 = 1, determinar su centro, vértices y focos.
Solución:
- Centro: (h,k) = (-3, 4)
- a² = 25 => a = 5 (semi-eje mayor vertical)
- b² = 16 => b = 4 (semi-eje menor horizontal)
Como a está debajo de (y - k)², la elipse es vertical. Los vértices se encuentran sumando y restando a al valor de k, manteniendo h constante. Vértices: (-3, 4+5) = (-3, 9) y (-3, 4-5) = (-3, -1).
Calculamos c: c² = a² - b² = 25 - 16 = 9, por lo que c = 3. Los focos se encuentran sumando y restando c a k, manteniendo h constante. Focos: (-3, 4+3) = (-3, 7) y (-3, 4-3) = (-3, 1).
Recuerda: La clave para resolver estos ejercicios es identificar correctamente los valores de h, k, a, y b, y determinar si la elipse es horizontal o vertical.
