Ejercicios De Hiperbola Resueltos Paso A Paso Con Grafica
La hipérbola es una sección cónica formada por la intersección de un plano con un cono de doble hoja. Es una curva abierta con dos ramas que se extienden hasta el infinito. Comprender su ecuación y características es fundamental en diversas áreas de la ciencia y la ingeniería.
Definiciones Clave
El centro es el punto medio entre los dos focos de la hipérbola. Los focos son dos puntos fijos. La distancia de cualquier punto de la hipérbola a los focos tiene una diferencia constante. Los vértices son los puntos donde la hipérbola intersecta su eje principal. El eje principal (o eje transverso) es la línea que pasa por los focos y los vértices. El eje conjugado es la línea perpendicular al eje principal que pasa por el centro. Las asíntotas son líneas rectas que la hipérbola se acerca cada vez más a medida que se extiende hasta el infinito.
Ecuaciones de la Hipérbola
La ecuación general de una hipérbola con centro en el origen (0,0) es:
Must Read
* Horizontal: x²/a² - y²/b² = 1 * Vertical: y²/a² - x²/b² = 1
Donde 'a' es la distancia del centro a cada vértice y 'b' está relacionado con la distancia del centro a los puntos extremos del eje conjugado.
Si el centro de la hipérbola está en (h,k), las ecuaciones se modifican a:
* Horizontal: (x-h)²/a² - (y-k)²/b² = 1 * Vertical: (y-k)²/a² - (x-h)²/b² = 1
Ejercicio Resuelto Paso a Paso: Hipérbola Horizontal
Consideremos la ecuación: x²/16 - y²/9 = 1.
Paso 1: Identificar los parámetros
Aquí, a² = 16, por lo que a = 4. También, b² = 9, por lo que b = 3. Dado que el término con x² es positivo, la hipérbola es horizontal.
Paso 2: Encontrar el centro
Como la ecuación no tiene términos (x-h) o (y-k), el centro está en el origen: (0,0).
Paso 3: Encontrar los vértices
Los vértices están a una distancia 'a' del centro a lo largo del eje x. Por lo tanto, los vértices son (+/- a, 0) = (+/- 4, 0). Los vértices son (4,0) y (-4,0).
Paso 4: Calcular 'c' (distancia del centro a los focos)
Usamos la relación c² = a² + b². En este caso, c² = 16 + 9 = 25. Por lo tanto, c = 5.
Paso 5: Encontrar los focos
Los focos están a una distancia 'c' del centro a lo largo del eje x. Por lo tanto, los focos son (+/- c, 0) = (+/- 5, 0). Los focos son (5,0) y (-5,0).
Paso 6: Encontrar las asíntotas
Las ecuaciones de las asíntotas para una hipérbola horizontal centrada en el origen son y = (+/- b/a)x. En este caso, y = (+/- 3/4)x. Las asíntotas son y = (3/4)x y y = (-3/4)x.
Paso 7: Graficar la hipérbola
Para graficar, dibuja primero el centro, los vértices, los focos y las asíntotas. La hipérbola se abre hacia la izquierda y hacia la derecha, acercándose a las asíntotas a medida que se aleja del centro. Dibuja un rectángulo centrado en el origen con lados de longitud 2a y 2b. Las asintotas pasarán por las esquinas de este rectángulo.
Ejercicio Resuelto Paso a Paso: Hipérbola Vertical
Consideremos la ecuación: (y-2)²/9 - (x+1)²/16 = 1.
Paso 1: Identificar los parámetros
Aquí, a² = 9, por lo que a = 3. También, b² = 16, por lo que b = 4. Dado que el término con y² es positivo, la hipérbola es vertical.
Paso 2: Encontrar el centro
La ecuación tiene términos (x+1) y (y-2), el centro es (-1,2).
Paso 3: Encontrar los vértices
Los vértices están a una distancia 'a' del centro a lo largo del eje y. Por lo tanto, los vértices son (h, k +/- a) = (-1, 2 +/- 3). Los vértices son (-1,5) y (-1,-1).
Paso 4: Calcular 'c' (distancia del centro a los focos)
Usamos la relación c² = a² + b². En este caso, c² = 9 + 16 = 25. Por lo tanto, c = 5.
Paso 5: Encontrar los focos
Los focos están a una distancia 'c' del centro a lo largo del eje y. Por lo tanto, los focos son (h, k +/- c) = (-1, 2 +/- 5). Los focos son (-1,7) y (-1,-3).
Paso 6: Encontrar las asíntotas
Las ecuaciones de las asíntotas para una hipérbola vertical centrada en (h,k) son y - k = (+/- a/b)(x-h). En este caso, y - 2 = (+/- 3/4)(x+1). Las asíntotas son y = (3/4)(x+1) + 2 y y = (-3/4)(x+1) + 2.
Paso 7: Graficar la hipérbola
Para graficar, dibuja primero el centro, los vértices, los focos y las asíntotas. La hipérbola se abre hacia arriba y hacia abajo, acercándose a las asíntotas a medida que se aleja del centro. Dibuja un rectángulo centrado en el (-1,2) con lados de longitud 2a y 2b. Las asintotas pasarán por las esquinas de este rectángulo.
