Ejercicios De Parabola Con Vertice En El Origen

La parábola es una curva importante en matemáticas. Su ecuación se simplifica cuando su vértice está en el origen (0,0). Vamos a resolver ejercicios con este tipo de parábolas.

Ecuaciones de la parábola con vértice en el origen

Existen dos formas básicas de la ecuación. Estas dependen de si la parábola abre verticalmente u horizontalmente. Si abre verticalmente (hacia arriba o hacia abajo), la ecuación es: x² = 4py. Si abre horizontalmente (hacia la derecha o hacia la izquierda), la ecuación es: y² = 4px.

La letra p representa la distancia del vértice al foco. También representa la distancia del vértice a la directriz. El signo de p indica la dirección en la que abre la parábola.

Ejercicio 1: Hallar la ecuación

Problema: El foco de una parábola con vértice en el origen es (0,3). Hallar su ecuación.

Paso 1: Identificar la orientación. Como el foco es (0,3), está sobre el eje y. Por lo tanto, la parábola abre verticalmente. Abre hacia arriba porque la coordenada y del foco es positiva.

Paso 2: Determinar el valor de p. La distancia del vértice (0,0) al foco (0,3) es 3. Entonces, p = 3.

Paso 3: Sustituir p en la ecuación. Como abre verticalmente, usamos x² = 4py. Sustituimos p = 3. Esto nos da x² = 4(3)y.

Paso 4: Simplificar la ecuación. x² = 12y. Esta es la ecuación de la parábola.

Ejercicio 2: Hallar el foco y la directriz

Problema: Dada la ecuación y² = -8x, hallar el foco y la directriz.

Paso 1: Identificar la orientación. La ecuación es de la forma y² = 4px. Esto significa que la parábola abre horizontalmente. El coeficiente de x es negativo (-8), así que abre hacia la izquierda.

Paso 2: Determinar el valor de p. Tenemos 4p = -8. Dividimos ambos lados por 4. Obtenemos p = -2.

Paso 3: Hallar el foco. Como la parábola abre horizontalmente, el foco está en el eje x. El foco es (p, 0). Sustituimos p = -2. El foco es (-2, 0).

Paso 4: Hallar la directriz. La directriz es una línea vertical. Su ecuación es x = -p. Sustituimos p = -2. x = -(-2). Entonces la directriz es x = 2.

Ejercicio 3: Aplicación de la ecuación

Problema: El reflector de un faro tiene forma de parábola. Su diámetro es de 16 cm y su profundidad es de 6 cm. Hallar la distancia del vértice al foco.

Paso 1: Dibujar un diagrama. Imagine la parábola con el vértice en el origen. Como el diámetro es 16 cm, se extiende 8 cm a la derecha y 8 cm a la izquierda del eje y. Como la profundidad es 6 cm, el punto (8,6) está en la parábola.

Paso 2: Usar la ecuación de la parábola. Como el faro es simétrico con respecto al eje y, la parábola abre hacia arriba. Usamos la ecuación x² = 4py.

Paso 3: Sustituir las coordenadas del punto (8,6). (8)² = 4p(6). Esto se convierte en 64 = 24p.

Paso 4: Resolver para p. Dividimos ambos lados por 24. p = 64/24 = 8/3. Por lo tanto, la distancia del vértice al foco es 8/3 cm, o aproximadamente 2.67 cm.

Estos ejercicios muestran cómo trabajar con parábolas con vértice en el origen. Recuerda identificar la orientación y hallar el valor de p. Luego sustituye en la ecuación correcta.