Ejercicios Resueltos De Parabola Con Centro En El Origen

¡Hola, amigos! Vamos a sumergirnos en el mundo de las parábolas. Hoy nos enfocaremos en las que tienen su centro en el origen. Imagina que el origen es el centro exacto de un espejo parabólico. Todo estará referenciado a este punto central.

Ecuación de la Parábola con Centro en el Origen

La ecuación general de una parábola con vértice en el origen es simple. Puede ser de dos tipos principales: y² = 4px o x² = 4py. La letra p es crucial. Representa la distancia entre el vértice y el foco, y también entre el vértice y la directriz. Visualiza p como un pequeño puente que conecta elementos importantes.

Parábola Horizontal: y² = 4px

Esta parábola se abre hacia la derecha si p es positivo. Se abre hacia la izquierda si p es negativo. Piensa en un arco que se estira a lo largo del eje x. La forma de la parábola es determinada por el valor de p.

Ejemplo 1: y² = 8x

Comparemos esto con la forma general y² = 4px. Podemos ver que 4p = 8. Dividiendo ambos lados por 4, obtenemos p = 2. Esto significa que el foco está en el punto (2, 0). La directriz es la línea vertical x = -2. Imagina una línea recta a la izquierda y un punto a la derecha, ambos a la misma distancia del origen.

Parábola Vertical: x² = 4py

Esta parábola se abre hacia arriba si p es positivo. Se abre hacia abajo si p es negativo. Imagina una U invertida o normal que se extiende a lo largo del eje y. La concavidad depende del signo de p.

Ejemplo 2: x² = -12y

Nuevamente, comparamos con la forma general x² = 4py. Vemos que 4p = -12. Dividiendo ambos lados por 4, obtenemos p = -3. Esto significa que el foco está en el punto (0, -3). La directriz es la línea horizontal y = 3. Observa que, al ser p negativo, la parábola se abre hacia abajo.

Encontrando la Ecuación

A veces, te dan el foco o la directriz y te piden hallar la ecuación. El truco es encontrar el valor de p. Recuerda, p es la distancia entre el vértice (el origen en este caso) y el foco (o la directriz).

Ejemplo 3: Foco en (0, 5)

Como el foco está en (0, 5), sabemos que la parábola es vertical. También sabemos que p = 5. Sustituyendo en la ecuación x² = 4py, obtenemos x² = 4(5)y. Esto se simplifica a x² = 20y.

Ejemplo 4: Directriz y = -4

Como la directriz es y = -4, sabemos que la parábola es vertical. La distancia entre el origen y la directriz es 4. Por lo tanto, p = 4. Sustituyendo en la ecuación x² = 4py, obtenemos x² = 4(4)y. Esto se simplifica a x² = 16y.

Resumen Visual

Imagina un faro. La bombilla está en el foco. El espejo parabólico concentra la luz en un haz potente. El vértice del espejo está en el origen. La directriz sería una línea imaginaria detrás del faro. La clave está en visualizar cómo la distancia p conecta todos estos elementos.

Practica con diferentes ejemplos. Dibuja las parábolas. Identifica el foco, la directriz y el valor de p. Cuanto más visualices, más fácil será entender las parábolas con centro en el origen.