Factorizacion De Un Monomio A Partir De Un Polinomio

Vamos a descomponer el proceso de factorizar un monomio a partir de un polinomio. Lo haremos paso a paso. Cada paso es crucial para entender el concepto. Empecemos con un ejemplo.

Paso 1: Identificar el Máximo Común Divisor (MCD)

Consideremos el polinomio: 12x³ + 18x² - 24x. Debemos encontrar el MCD de los coeficientes. Los coeficientes son 12, 18 y 24.

Factores de 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Factores de 18: 1, 2, 3, 6, 9, 18. Factores de 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24.

El MCD de 12, 18 y 24 es 6. Esto será parte de nuestro factor común.

Paso 2: Identificar la variable común con el menor exponente

Observamos las variables en cada término: x³, x² y x. La variable común es x.

El menor exponente de x es 1 (en el término -24x). Por lo tanto, x¹ (o simplemente x) es parte de nuestro factor común.

Paso 3: Determinar el Monomio Factor Común

Combinamos el MCD de los coeficientes y la variable común con el menor exponente. El monomio factor común es 6x.

Paso 4: Dividir cada término del polinomio por el factor común

Dividimos cada término del polinomio original por 6x: (12x³ / 6x) + (18x² / 6x) - (24x / 6x). Realizamos cada división individualmente.

12x³ / 6x = 2x². 18x² / 6x = 3x. -24x / 6x = -4.

Paso 5: Escribir el polinomio factorizado

Escribimos el polinomio original como el producto del factor común y el resultado de la división. El polinomio factorizado es: 6x(2x² + 3x - 4).

Paso 6: Verificar la factorización

Distribuimos el factor común (6x) a través del polinomio resultante. Debemos obtener el polinomio original.

6x * (2x² + 3x - 4) = 12x³ + 18x² - 24x. Este resultado coincide con el polinomio original.

Ejemplo Adicional

Factorizar: 15a⁴b² - 25a²b³ + 30a³b.

MCD de 15, 25 y 30 es 5. La variable común con el menor exponente es a²b.

El factor común es 5a²b. Dividimos cada término por 5a²b.

15a⁴b² / 5a²b = 3a²b. -25a²b³ / 5a²b = -5b². 30a³b / 5a²b = 6a.

El polinomio factorizado es: 5a²b(3a²b - 5b² + 6a). Verificamos distribuyendo.

5a²b * (3a²b - 5b² + 6a) = 15a⁴b² - 25a²b³ + 30a³b. La factorización es correcta.

Resumen

Para factorizar un monomio a partir de un polinomio, identificamos el MCD de los coeficientes. Luego, encontramos la variable común con el menor exponente. Determinamos el factor común. Dividimos cada término por el factor común y escribimos el resultado. Siempre verificamos nuestra respuesta.