Formulas Del Teorema Fundamental Del Calculo

El Teorema Fundamental del Cálculo es un concepto crucial en cálculo. Conecta dos ideas principales: la derivada y la integral. En pocas palabras, nos dice cómo se deshacen entre sí.

Parte 1: La integral como antiderivada.

Esta parte establece que la derivada de la integral de una función nos devuelve la función original. Es decir, si tenemos una función f(x), y calculamos su integral definida desde un punto a hasta un punto x, el resultado es una nueva función, digamos F(x). Si derivamos F(x), ¡obtenemos f(x) de nuevo!

La fórmula es:

d/dx ∫_a^x f(t) dt = f(x)

Aquí, f(t) es la función que estamos integrando, a es una constante (un número), y x es la variable superior del límite de integración. El resultado de la derivada es simplemente la función original, pero evaluada en x.

Ejemplo:

Si f(x) = x², entonces:

d/dx ∫₀^x t² dt = x²

Parte 2: Calculando integrales definidas.

Esta parte nos proporciona una forma práctica de calcular integrales definidas. Dice que si conocemos una antiderivada (también llamada integral indefinida) de f(x), digamos F(x), entonces la integral definida de f(x) desde a hasta b es simplemente la diferencia entre F(b) y F(a).

La fórmula es:

∫_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)

Donde F(x) es cualquier antiderivada de f(x). Recuerda que una antiderivada es una función cuya derivada es f(x).

Ejemplo:

Calculemos ∫₁³ x² dx. Sabemos que una antiderivada de x² es (1/3)x³. Entonces:

∫₁³ x² dx = (1/3)(3)³ - (1/3)(1)³ = 9 - (1/3) = 26/3

En resumen, el Teorema Fundamental del Cálculo es la piedra angular del cálculo, conectando la diferenciación e integración y proporcionando herramientas poderosas para resolver problemas.