Integrales Definidas Por Sustitucion Ejercicios Resueltos

Una integral definida por sustitución es una técnica para evaluar integrales definidas al cambiar la variable de integración. Esto simplifica la integral al transformar una función compleja en una más manejable. La clave está en identificar una sustitución adecuada: u = g(x), donde g'(x) aparece en la integral.

El proceso paso a paso es el siguiente:

1. Identificar la sustitución: Encuentra una función u = g(x) cuya derivada esté presente (o pueda ser fácilmente manipulada para estar presente) en la integral. Ejemplo: En la integral ∫₀² x(x² + 1)³ dx, podemos elegir u = x² + 1.
2. Calcular du/dx y despejar dx: Encuentra la derivada de u con respecto a x (du/dx) y luego despeja dx en términos de du. Ejemplo: Si u = x² + 1, entonces du/dx = 2x, y por lo tanto, dx = du / (2x).
3. Cambiar los límites de integración: Dado que estamos trabajando con una integral definida, debemos cambiar los límites originales de integración (en términos de x) a nuevos límites en términos de u. Si el límite inferior original es a, el nuevo límite inferior es g(a). Si el límite superior original es b, el nuevo límite superior es g(b). Ejemplo: Cuando x = 0 (límite inferior), u = 0² + 1 = 1. Cuando x = 2 (límite superior), u = 2² + 1 = 5.
4. Sustituir y evaluar: Sustituye u y du en la integral original, incluyendo los nuevos límites de integración en términos de u. Luego, evalúa la integral resultante con respecto a u. Ejemplo: ∫₀² x(x² + 1)³ dx se convierte en ∫₁⁵ (u³) (du / 2) = (1/2) ∫₁⁵ u³ du = (1/2) [u⁴ / 4]₁⁵ = (1/8) [5⁴ - 1⁴] = (1/8) [625 - 1] = 624 / 8 = 78.

La integración por sustitución es fundamental en el cálculo. Un uso práctico es al calcular áreas bajo curvas donde la función es compleja pero se simplifica con una sustitución. Otro ejemplo es en la probabilidad y estadística, donde se usa para encontrar la probabilidad acumulada de distribuciones no elementales.