Integrales Por Cambio De Variable Ejercicios Resueltos Pdf

La integración por sustitución, también conocida como cambio de variable, es una técnica fundamental en cálculo integral. Permite simplificar integrales complejas al reemplazar una función dentro de la integral por una nueva variable, usualmente 'u', y su respectivo diferencial.

El principio básico es identificar una función dentro de la integral cuya derivada también esté presente, o pueda obtenerse mediante una constante multiplicativa. El objetivo es transformar la integral original en una integral más sencilla en términos de la nueva variable 'u'.

Pasos clave del método:

1. Elección de 'u': Identificar una parte de la integral, f(x), que al derivarla, f'(x), esté presente (o una constante por ella) en la integral.

2. Cálculo de du: Calcular el diferencial de 'u', es decir, du = f'(x) dx.

3. Sustitución: Reemplazar f(x) por 'u' y f'(x) dx por 'du' en la integral original.

4. Integración: Resolver la integral resultante en términos de 'u'.

5. Retrosustitución: Reemplazar 'u' por f(x) en la solución final para obtener la respuesta en términos de la variable original 'x'. No olvidar la constante de integración, '+C'.

Ejemplo 1: Calcular la integral de ∫ 2x * cos(x²) dx

Sea u = x², entonces du = 2x dx. Sustituyendo, tenemos ∫ cos(u) du = sin(u) + C. Retrosustituyendo, obtenemos la solución: sin(x²) + C.

Ejemplo 2: Calcular la integral de ∫ (x+1) / (x²+2x+3) dx

Sea u = x²+2x+3, entonces du = (2x+2) dx = 2(x+1) dx. De esto, (x+1) dx = du/2. Sustituyendo, tenemos ∫ (1/2) * (1/u) du = (1/2)ln|u| + C. Retrosustituyendo, obtenemos la solución: (1/2)ln|x²+2x+3| + C.

La integración por sustitución es ampliamente utilizada en diversas áreas de la ciencia e ingeniería. Por ejemplo, en física, puede utilizarse para calcular el trabajo realizado por una fuerza variable o en la resolución de ecuaciones diferenciales. En probabilidad y estadística, se usa para calcular la función de distribución acumulativa de variables aleatorias.