Introduction To Number Theory By Mathew Crawford Pdf

La teoría de números, o aritmética superior, es el estudio de los números enteros y sus propiedades. Principalmente, se centra en los números enteros positivos, también conocidos como números naturales (1, 2, 3, ...), y las relaciones entre ellos.

Un aspecto clave de la teoría de números es la divisibilidad. Un número entero 'a' divide a otro entero 'b' si existe un entero 'k' tal que b = a * k. En este caso, 'a' es un divisor de 'b', y 'b' es un múltiplo de 'a'. Por ejemplo, 3 divide a 12 porque 12 = 3 * 4. El estudio de los divisores conduce naturalmente a la definición de números primos.

Un número primo es un número entero mayor que 1 que solo tiene dos divisores positivos: 1 y él mismo. Los primeros números primos son 2, 3, 5, 7, 11, 13, etc. Los números que no son primos (y mayores que 1) se llaman números compuestos. El Teorema Fundamental de la Aritmética establece que todo número entero mayor que 1 puede ser expresado de manera única como un producto de números primos, hasta el orden de los factores.

Otra área fundamental es la congruencia modular. Se dice que dos números enteros 'a' y 'b' son congruentes módulo 'n' (donde 'n' es un entero positivo) si 'n' divide a la diferencia a - b. Esto se escribe como a ≡ b (mod n). Por ejemplo, 17 ≡ 2 (mod 5) porque 5 divide a 17 - 2 = 15.

Ejemplo 1: Encontrar los factores primos de 36. Descomponemos 36 como 2 * 18 = 2 * 2 * 9 = 2 * 2 * 3 * 3. Por lo tanto, la factorización prima de 36 es 2² * 3².

Ejemplo 2: Determine si 23 es primo. Probamos la divisibilidad de 23 por todos los primos menores o iguales a la raíz cuadrada de 23 (aproximadamente 4.8). Es decir, probamos 2 y 3. Como 23 no es divisible ni por 2 ni por 3, concluimos que 23 es primo.

La teoría de números tiene aplicaciones significativas en la criptografía moderna. Los algoritmos de cifrado, como RSA, se basan en la dificultad de factorizar números grandes en sus factores primos. La seguridad de las comunicaciones en internet depende en gran medida de los principios desarrollados en la teoría de números. Además, se aplica en la generación de números aleatorios, códigos correctores de errores y diversas áreas de la informática.