Limites De 1 Elevado A Infinito
Imagina un columpio. Empujas un poco, muy poquito. Casi imperceptible. Y repites este empujón, muchísimas veces. ¿A dónde llegará el columpio?
Esta es la idea central del límite de 1 elevado a infinito. No es tan directo como parece. Es una forma indeterminada.
¿Qué significa 1 elevado a infinito?
Normalmente, si elevas 1 a cualquier potencia, el resultado es 1. 12 = 1. 1100 = 1. 11,000,000 = 1. Parece obvio que 1∞ = 1.
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Pero, ¿qué pasa si no es exactamente 1? Si es 1.0000000000001. Es un número muy cercano a 1. Y lo elevas a un número enorme. Quizás, el resultado sea algo diferente.
Piensa en un interés bancario. Tienes 1 euro. El banco te da un interés anual del 100%. Al final del año, tienes 2 euros.
Ahora, el banco te da un interés del 50% cada seis meses. Al cabo del primer semestre, tienes 1.50 euros. Al final del año, tienes 1.50 * 1.50 = 2.25 euros. Más que antes.
¿Y si el interés es del 25% cada tres meses? Tendrías (1 + 0.25)4 = 2.44 euros. Cuanto más frecuentemente se capitalice el interés, más ganas. Pero, ¿hay un límite?
La forma indeterminada
El límite de 1 elevado a infinito aparece cuando tenemos una expresión de la forma (1 + algo)algo muy grande. Ese "algo" se acerca a cero. Y ese "algo muy grande" se acerca a infinito.
La expresión se parece a 1∞. Pero no es exactamente 1∞. Tenemos dos fuerzas en juego.
Por un lado, el número cercano a 1, al ser elevado a una potencia grande, tiende a permanecer cerca de 1. Por otro lado, la acumulación de ese "algo" pequeño, repetida muchas veces, puede alejarnos de 1.
Imagina una gota de agua. Es muy pequeña. Pero si la añades a un vaso vacío, gota a gota, infinitas veces... ¡El vaso se llenará!
El número e
Este límite tiene una solución muy importante en matemáticas: el número e, también conocido como el número de Euler. Su valor aproximado es 2.71828.
El límite que define a e es: lim (1 + 1/n)n cuando n tiende a infinito. Es la versión matemática de nuestro ejemplo del interés bancario.
El número e aparece en muchísimas áreas de las matemáticas, la física y la ingeniería. Es fundamental para el cálculo.
Volviendo a nuestro columpio, si cada pequeño empujón es exactamente el que necesita para llegar a la altura siguiente, y se repite infinitamente, el columpio llegará a una altura determinada, relacionada con e. No se quedará quieto, ni se irá al infinito.
Para resolver estos límites de la forma 1∞, usualmente se transforma la expresión usando logaritmos y el número e. Existen técnicas específicas para ello.
