Sistemas De Tres Ecuaciones Lineales Con Tres Incógnitas

Resolvamos sistemas de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas. Usaremos el método de eliminación.

Paso 1: Entender el Sistema

Un sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas tiene la forma:

ax + by + cz = d

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ex + fy + gz = h

ix + jy + kz = l

Donde x, y, y z son las incógnitas. Las letras restantes (a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l) son coeficientes numéricos.

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Paso 2: Elegir una Variable para Eliminar

Selecciona una variable. Generalmente, busca la variable con coeficientes que sean fáciles de manipular. Puedes elegir x, y, o z. Por ejemplo, si la variable x tiene un coeficiente de 1 en una ecuación, es una buena opción para eliminar.

Paso 3: Eliminar la Variable de Dos Ecuaciones

Usa dos ecuaciones del sistema. Multiplica una o ambas ecuaciones por constantes. Busca que los coeficientes de la variable que elegiste tengan el mismo valor absoluto. Uno debe ser positivo y el otro negativo.

Suma las dos ecuaciones. Esto elimina la variable seleccionada. Obtendrás una nueva ecuación con solo dos variables.

Por ejemplo: Si tienes x + 2y + z = 5 y 2x + y - z = 1, puedes multiplicar la primera ecuación por -2 para obtener -2x - 4y - 2z = -10. Luego sumas esta nueva ecuación con la segunda ecuación original: -2x - 4y - 2z = -10 + 2x + y - z = 1, que resulta en -3y - 3z = -9.

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Paso 4: Eliminar la Misma Variable de Otra Ecuación

Usa una de las ecuaciones originales del paso anterior. Utiliza la tercera ecuación que aún no has usado. Repite el proceso del paso 3 para eliminar la misma variable que eliminaste antes. Ahora tendrás otra ecuación con las mismas dos variables que la ecuación obtenida en el paso 3.

Siguiendo con el ejemplo anterior, si la tercera ecuación es x - y + 2z = 3, puedes multiplicar la primera ecuación original (x + 2y + z = 5) por -1, resultando en -x - 2y - z = -5. Luego sumas esta nueva ecuación con la tercera ecuación original: -x - 2y - z = -5 + x - y + 2z = 3, que resulta en -3y + z = -2.

Paso 5: Resolver el Sistema de Dos Ecuaciones

Ahora tienes un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas. Resuelve este sistema usando el método de eliminación o sustitución. En el ejemplo, tenemos -3y - 3z = -9 y -3y + z = -2. Multiplicamos la segunda ecuación por -1: 3y - z = 2. Luego sumamos esta a la primera ecuación: -3y - 3z = -9 + 3y - z = 2, que resulta en -4z = -7. Por lo tanto, z = 7/4.

Sistema de Ecuaciones Lineales de tres incógnitas (3x3) - YouTube

Sustituye el valor encontrado en una de las ecuaciones con dos variables. Obtén el valor de la segunda variable. Con z = 7/4, usamos -3y + z = -2, entonces -3y + 7/4 = -2. Resolvemos para y: -3y = -2 - 7/4 = -15/4. Por lo tanto, y = 5/4.

Paso 6: Sustituir para Encontrar la Tercera Variable

Sustituye los valores de las dos variables que encontraste. Utiliza cualquiera de las ecuaciones originales del sistema de tres ecuaciones. Resuelve para obtener el valor de la tercera variable.

Con y = 5/4 y z = 7/4, usamos la ecuación original x + 2y + z = 5. Sustituimos: x + 2(5/4) + 7/4 = 5. Simplificamos: x + 10/4 + 7/4 = 5. x + 17/4 = 5. x = 5 - 17/4 = 3/4.