Sólidos De Revolución Método De Discos Ejercicios Resueltos Pdf

El Método de Discos, aplicado a sólidos de revolución, es una técnica del cálculo integral para determinar el volumen de un sólido generado al girar una región plana alrededor de un eje. Básicamente, dividimos el sólido en discos infinitesimalmente delgados y sumamos sus volúmenes.

Paso a paso:

1. Definir la región y el eje de rotación: Identificar la función f(x) que delimita la región y el eje sobre el cual se va a girar. Por ejemplo, girar la región bajo la curva f(x) = x² desde x = 0 hasta x = 2 alrededor del eje x.
2. Determinar el radio del disco: El radio del disco es la distancia desde el eje de rotación hasta la función. En el ejemplo anterior, el radio es r(x) = f(x) = x². Si giramos alrededor del eje y, deberemos expresar x en función de y, x = g(y), y el radio será r(y) = g(y).
3. Calcular el área del disco: El área de cada disco es A(x) = π [r(x)]². En el ejemplo, A(x) = π (x²)² = πx⁴.
4. Integrar el área del disco: El volumen total se obtiene integrando el área del disco a lo largo del intervalo de integración: V = ∫_a^b A(x) dx. En el ejemplo, V = ∫₀² πx⁴ dx = π [x⁵/5]₀² = (32π)/5.

Ejemplo adicional: Si giramos la región limitada por y = √x, x = 4, e y = 0 alrededor del eje y, primero debemos expresar x en función de y: x = y². El radio será r(y) = 4 - y² (la distancia desde el eje y hasta la función). Los límites de integración son de 0 a 2. El volumen sería V = ∫₀² π (4 - y²)² dy.

Aplicaciones prácticas: El método de discos es crucial en ingeniería para calcular volúmenes de componentes con simetría rotacional, como tanques cilíndricos, ejes, y piezas mecánicas. También se utiliza en diseño industrial para optimizar la forma y el volumen de objetos giratorios como recipientes y embudos.