Transformada De Laplace De Sen T

Vamos a calcular la Transformada de Laplace de sen(t) paso a paso.

Primero, recordemos la definición de la Transformada de Laplace. Es una integral. La definición es: L{f(t)} = ∫₀^∞ e^-st f(t) dt. Donde f(t) es la función que queremos transformar, y s es una variable compleja.

Paso 1: Aplicar la Definición

En nuestro caso, f(t) = sen(t). Entonces, sustituimos sen(t) en la definición de la Transformada de Laplace: L{sen(t)} = ∫₀^∞ e^-st sen(t) dt.

Ahora, tenemos una integral impropia. Necesitamos resolver esta integral para encontrar la Transformada de Laplace de sen(t). La integral requiere integración por partes.

Paso 2: Integración por Partes (Primera Vez)

Usaremos integración por partes dos veces. Recordemos la fórmula de integración por partes: ∫ u dv = uv - ∫ v du.

Elijamos u = sen(t) y dv = e^-st dt. Esto implica que du = cos(t) dt y v = - (1/s) e^-st.

Sustituyendo en la fórmula de integración por partes: ∫ e^-st sen(t) dt = -(1/s) e^-st sen(t) - ∫ -(1/s) e^-st cos(t) dt. Esto simplifica a: ∫ e^-st sen(t) dt = -(1/s) e^-st sen(t) + (1/s) ∫ e^-st cos(t) dt.

Paso 3: Integración por Partes (Segunda Vez)

Ahora, necesitamos integrar ∫ e^-st cos(t) dt. Nuevamente, usaremos integración por partes.

Elijamos u = cos(t) y dv = e^-st dt. Esto implica que du = -sen(t) dt y v = - (1/s) e^-st.

Sustituyendo en la fórmula de integración por partes: ∫ e^-st cos(t) dt = -(1/s) e^-st cos(t) - ∫ -(1/s) e^-st (-sen(t)) dt. Esto simplifica a: ∫ e^-st cos(t) dt = -(1/s) e^-st cos(t) - (1/s) ∫ e^-st sen(t) dt.

Paso 4: Sustituir y Resolver

Sustituimos el resultado de la segunda integración por partes en la ecuación obtenida en el paso 2: ∫ e^-st sen(t) dt = -(1/s) e^-st sen(t) + (1/s) [-(1/s) e^-st cos(t) - (1/s) ∫ e^-st sen(t) dt].

Simplificando: ∫ e^-st sen(t) dt = -(1/s) e^-st sen(t) - (1/s²) e^-st cos(t) - (1/s²) ∫ e^-st sen(t) dt.

Ahora, agrupamos las integrales: (1 + 1/s²) ∫ e^-st sen(t) dt = -(1/s) e^-st sen(t) - (1/s²) e^-st cos(t).

Multiplicamos ambos lados por s²: (s² + 1) ∫ e^-st sen(t) dt = -s e^-st sen(t) - e^-st cos(t).

Finalmente, despejamos la integral: ∫ e^-st sen(t) dt = (-s e^-st sen(t) - e^-st cos(t)) / (s² + 1).

Paso 5: Evaluar los Límites

Ahora necesitamos evaluar la integral impropia desde 0 hasta ∞: L{sen(t)} = lim_b→∞ [(-s e^-sb sen(b) - e^-sb cos(b)) / (s² + 1)] - [(-s e⁰ sen(0) - e⁰ cos(0)) / (s² + 1)]. Asumimos que s > 0 para que e^-sb tienda a 0 cuando b tiende a infinito.

Como lim_b→∞ e^-sb = 0 (si s > 0), el primer término tiende a 0. El segundo término se simplifica a: [(-s * 1 * 0 - 1 * 1) / (s² + 1)] = [0 + 1] / (s² + 1) = 1 / (s² + 1).

Paso 6: Resultado Final

Por lo tanto, la Transformada de Laplace de sen(t) es: L{sen(t)} = 1 / (s² + 1).