2x 2 5x 12 0 Completing The Square

Completar el cuadrado es una técnica para reescribir una ecuación cuadrática en una forma más útil. Nos permite encontrar la solución de la ecuación y entender mejor su gráfica.

¿Qué es completar el cuadrado?

Completar el cuadrado es transformar una expresión cuadrática de la forma ax² + bx + c a la forma a(x + h)² + k. Básicamente, creamos un trinomio cuadrado perfecto, que puede factorizarse fácilmente como un binomio al cuadrado.

Pasos para completar el cuadrado

Vamos a completar el cuadrado para la ecuación 2x² + 5x + 12 = 0. Es importante notar que no estamos resolviendo la ecuación todavía, solo la estamos reescribiendo.

1. Paso 1: Asegúrate de que el coeficiente de x² sea 1. Si no lo es, factorízalo. En nuestro caso, es 2, así que factorizamos:

   2(x² + (5/2)x + 6) = 0

2. Paso 2: Toma el coeficiente de x (el término del medio), divídelo por 2 y elévalo al cuadrado. En nuestro caso, el coeficiente de x es 5/2.

   (5/2) / 2 = 5/4

   

   (5/4)² = 25/16

3. Paso 3: Suma y resta el resultado del paso 2 dentro del paréntesis. Esto no cambia el valor de la expresión, porque estamos sumando cero.

   2(x² + (5/2)x + 25/16 - 25/16 + 6) = 0

4. Paso 4: Los primeros tres términos dentro del paréntesis ahora forman un trinomio cuadrado perfecto. Factorízalos como un binomio al cuadrado.

   2((x + 5/4)² - 25/16 + 6) = 0

   

5. Paso 5: Simplifica el resto de la expresión. Encuentra un denominador común para -25/16 y 6 (que es 96/16).

   2((x + 5/4)² + (-25/16 + 96/16)) = 0

   2((x + 5/4)² + 71/16) = 0

   

Hemos completado el cuadrado. La ecuación original 2x² + 5x + 12 = 0 ahora está escrita como 2((x + 5/4)² + 71/16) = 0. Aunque se vea más complicado, esta forma es muy útil para encontrar el vértice de la parábola y resolver la ecuación (que implicaría aislar el término al cuadrado y sacar la raíz cuadrada).

¿Por qué completar el cuadrado?

Completar el cuadrado es útil por varias razones:

• Resolver ecuaciones cuadráticas: Cuando no podemos factorizar fácilmente, completar el cuadrado nos permite aislar la variable x.
• Encontrar el vértice de una parábola: La forma completada a(x + h)² + k nos dice directamente que el vértice de la parábola es (-h, k).
• Forma canónica de una cónica: Esta técnica se usa en geometría analítica para encontrar la ecuación de las cónicas.

Aunque el ejemplo 2x² + 5x + 12 = 0 resultó en fracciones, los principios siguen siendo los mismos para ecuaciones más simples. La práctica es clave para dominar esta técnica.