Como Hallar El Rango De Una Funcion Cuadratica

El rango de una función cuadrática es el conjunto de todos los posibles valores de salida (valores de 'y') que la función puede producir. En otras palabras, te dice qué tan alto y qué tan bajo llega la gráfica de la función, que es una parábola.

Paso 1: Identifica la Forma de la Parábola

Una función cuadrática tiene la forma general: f(x) = ax² + bx + c. La clave para encontrar el rango es saber si la parábola se abre hacia arriba o hacia abajo. Esto lo determina el coeficiente 'a':

• Si a > 0 (a es positivo), la parábola se abre hacia arriba. Tiene un punto mínimo.
• Si a < 0 (a es negativo), la parábola se abre hacia abajo. Tiene un punto máximo.

Ejemplo: En f(x) = 2x² + 3x - 5, 'a' es 2 (positivo), así que la parábola se abre hacia arriba.

Paso 2: Encuentra el Vértice

El vértice es el punto más alto o más bajo de la parábola. Su coordenada 'y' es crucial para determinar el rango. Para encontrar la coordenada 'x' del vértice (h), usa la siguiente fórmula:

h = -b / 2a

Una vez que tienes 'h', sustitúyelo en la función original para encontrar la coordenada 'y' del vértice (k):

k = f(h)

El vértice es el punto (h, k).

Ejemplo (continuando con f(x) = 2x² + 3x - 5):

• h = -3 / (2 * 2) = -3/4
• k = f(-3/4) = 2(-3/4)² + 3(-3/4) - 5 = -49/8

El vértice es (-3/4, -49/8).

Paso 3: Determina el Rango

Ahora que conoces el vértice y la dirección en la que se abre la parábola, puedes determinar el rango:

• Si la parábola se abre hacia arriba (a > 0), el rango es [k, ∞). Esto significa que 'y' es mayor o igual que 'k'. En nuestro ejemplo, el rango es [-49/8, ∞).
• Si la parábola se abre hacia abajo (a < 0), el rango es (-∞, k]. Esto significa que 'y' es menor o igual que 'k'.

Recuerda que el símbolo ∞ (infinito) indica que la función continúa indefinidamente en esa dirección.

Resumen

Para hallar el rango de una función cuadrática:

1. Determina si la parábola se abre hacia arriba o hacia abajo (analizando el signo de 'a').
2. Encuentra el vértice (h, k) usando las fórmulas h = -b / 2a y k = f(h).
3. Determina el rango: [k, ∞) si a > 0, o (-∞, k] si a < 0.

¡Con estos pasos, podrás encontrar el rango de cualquier función cuadrática!