Ejemplos De Derivada De Una Suma De Funciones
La derivada de una suma de funciones es una regla fundamental del cálculo. Es más fácil de lo que parece. En esencia, te dice que puedes derivar cada función por separado y luego sumar los resultados. ¡Así de simple!
¿Qué significa esto?
Imagina que tienes una función compuesta por la suma de dos (o más) funciones más simples. Digamos, f(x) = g(x) + h(x). La regla de la suma nos dice que:
f'(x) = g'(x) + h'(x)
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En palabras, la derivada de f(x) es igual a la derivada de g(x) más la derivada de h(x). ¡Derivar por partes y luego sumar es la clave!
Ejemplos prácticos
Ejemplo 1: Considera la función f(x) = x² + 3x. Tenemos dos funciones: g(x) = x² y h(x) = 3x.
Primero, derivamos g(x) = x². Usando la regla de la potencia, obtenemos g'(x) = 2x.
Luego, derivamos h(x) = 3x. La derivada de una constante multiplicada por x es simplemente la constante, así que h'(x) = 3.
Finalmente, sumamos las derivadas: f'(x) = g'(x) + h'(x) = 2x + 3. ¡Listo! La derivada de x² + 3x es 2x + 3.
Ejemplo 2: Veamos algo un poco más complejo: f(x) = sen(x) + cos(x) + 5.
Aquí tenemos tres funciones: g(x) = sen(x), h(x) = cos(x) y i(x) = 5.
Sabemos que la derivada de sen(x) es cos(x), así que g'(x) = cos(x).
La derivada de cos(x) es -sen(x), por lo tanto h'(x) = -sen(x).
La derivada de una constante (en este caso, 5) es siempre 0, entonces i'(x) = 0.
Sumamos las derivadas: f'(x) = g'(x) + h'(x) + i'(x) = cos(x) - sen(x) + 0 = cos(x) - sen(x).
Ejemplo 3: f(x) = 4x³ - 2x² + x - 7. Aquí, aplicamos la regla de la suma (y la regla de la potencia) repetidamente.
f'(x) = 12x² - 4x + 1 - 0 = 12x² - 4x + 1.
En resumen
La derivada de una suma de funciones es una herramienta poderosa y fácil de usar. Simplemente deriva cada término por separado y luego suma los resultados. ¡Practica con muchos ejemplos y te convertirás en un experto!
Recuerda: La práctica hace al maestro. ¡Sigue derivando!
