Funcion De Distribucion Acumulada Ejercicios Resueltos

La Función de Distribución Acumulada (FDA), también conocida como CDF (Cumulative Distribution Function), te dice la probabilidad de que una variable aleatoria tome un valor menor o igual a un cierto valor. En pocas palabras, responde a la pregunta: "¿Qué tan probable es que X sea menor o igual a x?".

¿Cómo funciona la FDA? Un paso a paso

Imagina que tienes una variable aleatoria, digamos, el número de caras que obtienes al lanzar una moneda 3 veces. La FDA te ayudará a entender la probabilidad de obtener 0, 1, 2, o 3 caras.

1. Define tu variable aleatoria: Primero, decide qué estás midiendo. En nuestro ejemplo, es el número de caras.
2. Identifica los posibles valores: ¿Qué valores puede tomar tu variable? En este caso, 0, 1, 2, o 3 caras.
3. Calcula la probabilidad para cada valor: Determina la probabilidad de cada resultado individual. Por ejemplo:
   • P(0 caras) = 1/8
   • P(1 cara) = 3/8
   • P(2 caras) = 3/8
   • P(3 caras) = 1/8
4. Calcula la probabilidad acumulada: Aquí es donde entra la FDA. Para cada valor "x", sumas las probabilidades de todos los valores menores o iguales a "x".
   • FDA(0) = P(X ≤ 0) = P(0 caras) = 1/8
   • FDA(1) = P(X ≤ 1) = P(0 caras) + P(1 cara) = 1/8 + 3/8 = 4/8 = 1/2
   • FDA(2) = P(X ≤ 2) = P(0 caras) + P(1 cara) + P(2 caras) = 1/8 + 3/8 + 3/8 = 7/8
   • FDA(3) = P(X ≤ 3) = P(0 caras) + P(1 cara) + P(2 caras) + P(3 caras) = 1/8 + 3/8 + 3/8 + 1/8 = 1

¡Listo! Ya tienes tu FDA. Observa que siempre aumenta (o se mantiene igual) y que su valor máximo es 1.

Ejercicios Resueltos para Practicar

Ejercicio 1: Una urna contiene 4 bolas blancas y 6 bolas negras. Se extraen 3 bolas al azar sin reemplazo. Sea X el número de bolas blancas extraídas. Calcula la FDA de X.

Solución:

• Posibles valores de X: 0, 1, 2, 3.
• Calculamos las probabilidades: P(0), P(1), P(2), P(3) (requiere combinatoria, pero se asume conocido).
• Calculamos la FDA:
  • FDA(0) = P(X ≤ 0) = P(0)
  • FDA(1) = P(X ≤ 1) = P(0) + P(1)
  • FDA(2) = P(X ≤ 2) = P(0) + P(1) + P(2)
  • FDA(3) = P(X ≤ 3) = P(0) + P(1) + P(2) + P(3) = 1

Ejercicio 2: Sea X una variable aleatoria con la siguiente función de probabilidad: P(X=1) = 0.2, P(X=2) = 0.3, P(X=3) = 0.5. Calcula y grafica la FDA de X.

Solución:

• FDA(x) = 0 para x < 1
• FDA(x) = 0.2 para 1 ≤ x < 2
• FDA(x) = 0.2 + 0.3 = 0.5 para 2 ≤ x < 3
• FDA(x) = 0.2 + 0.3 + 0.5 = 1 para x ≥ 3

La FDA es una función escalonada. Visualizarla te ayuda a entender cómo se acumulan las probabilidades.

¿Por qué es importante la FDA?

La FDA es crucial en estadística porque proporciona una descripción completa de la distribución de una variable aleatoria. Te permite calcular probabilidades para intervalos, encontrar percentiles, y comparar diferentes distribuciones. Es una herramienta fundamental para el análisis de datos y la toma de decisiones.

Recuerda: la FDA siempre te da la probabilidad de que la variable sea menor o igual a un valor específico. ¡Practica con más ejercicios y dominarás este concepto!