Integrales De Funciones Vectoriales Ejercicios Resueltos Pdf

Una integral de una función vectorial es la generalización de la integral de una función escalar a una función que devuelve un vector. En términos sencillos, en lugar de integrar una función que produce un número, integramos una función que produce un vector.

¿Qué necesitamos saber antes?

• Funciones vectoriales: Son funciones que asignan un vector a cada valor de entrada (normalmente un número real). Ejemplo: r(t) = <t², t, 1>
• Integrales definidas: La integral definida de una función escalar f(x) entre a y b nos da el área bajo la curva de f(x) entre esos puntos.
• Vectores: Operaciones básicas con vectores (suma, resta, multiplicación por un escalar).

¿Cómo se integra una función vectorial?

La clave es integrar cada componente de la función vectorial por separado. Si tenemos una función vectorial r(t) = <f(t), g(t), h(t)>, donde f(t), g(t), y h(t) son funciones escalares, entonces:

∫ r(t) dt = < ∫ f(t) dt, ∫ g(t) dt, ∫ h(t) dt >

Ejemplo 1: Integral indefinida

Sea r(t) = <2t, cos(t), 3t²>. Encontrar ∫ r(t) dt.

Integramos cada componente:

∫ 2t dt = t² + C₁

∫ cos(t) dt = sin(t) + C₂

∫ 3t² dt = t³ + C₃

Por lo tanto, ∫ r(t) dt = <t² + C₁, sin(t) + C₂, t³ + C₃> = <t², sin(t), t³> + <C₁, C₂, C₃> = <t², sin(t), t³> + C, donde C es un vector constante.

Ejemplo 2: Integral definida

Sea r(t) = <e^t, 1, 2t>. Encontrar ∫₀¹ r(t) dt.

Integramos cada componente y evaluamos entre 0 y 1:

∫₀¹ e^t dt = e^t |₀¹ = e¹ - e⁰ = e - 1

∫₀¹ 1 dt = t |₀¹ = 1 - 0 = 1

∫₀¹ 2t dt = t² |₀¹ = 1² - 0² = 1

Por lo tanto, ∫₀¹ r(t) dt = <e - 1, 1, 1>.

Importante: La constante de integración es un vector constante cuando se trata de integrales indefinidas de funciones vectoriales. En las integrales definidas, el resultado es un vector.

Recuerda practicar con diferentes ejemplos para consolidar tu comprensión. ¡Busca ejercicios resueltos de integrales de funciones vectoriales para mejorar tus habilidades!